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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 !< p9iZ  
usda5/  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &~x, cH  
o=<yS+ e}  
　　1、三角函数本质： i<"[:>Un  
N?aW>+|K  
　　三角函数的本质来源于定义 OdsY :s   
Cu&2aQw9O  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 S@"G -W,q  
":sHS  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 : fw/,@fJ  
2@VJ:>{'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： \+\mf"  
EiS<[Z   
　　推导： \.53nP`S  
?ht]M  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 vKc71tp`  
)o}\F Wi  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #-)K)X8X=r  
6 7<a0  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Bt] p0\  
k X% b^$  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 w-U#O%#0J  
g:+q.('}  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） mDMX{TK  
@ h((@= G  
　　[1] alg:+0b  
?`1/W}\  
　　两角和公式 :$_V<~%A  
'~gW}Im  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Bs3<CJ +\  
Zt`! F  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  +6t4 n  
_2j5Rf fJ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB b|[T?TpG,  
[ j/W  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB L: &"26n  
3J=yC )  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) f="HlR?<  
6>5 .dc  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w.t)nnb  
<&V+q8-O  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ]lZ ;!cq  
Gy"&F>\-  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) fd> X< eW  
(6{c)(:+  
倍角公式 -Zn6|Mz  
2=am~?LVH  
　　Sin2A=2SinA•CosA P{Cn hwK6  
Wz+VEn`0z  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 fPBdgf0?l  
~4X2OkO`S  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ~D6]#X,  
E lAv$IZL  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） T/#5*io  
JUzJfZZ  
三倍角公式 *fd$]u<  
8M!oNv9  
　　 F-)o]0P  
}r#1Bx$  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) " srZW!  
{@9"  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) kg d$ega  
VHA%TlS  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,hc1Y_I  
Dp= nlU  
三倍角公式推导 1Oq70+i.  
r..;lJ4h  
　　sin3a +cqf45s  
{ kp)#+  
　　=sin(2a+a) md3v}Z  
$"gq%w )o|  
　　=sin2acosa+cos2asina G4#J   
@Ymv V|  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina B\lg4Q9  
I2t~x2?  
　　=3sina-4sin³a hAb !}~  
hL.q:Kh^  
　　cos3a |= #a@:%  
|bOotQ PY  
　　=cos(2a+a) _+EzC3;  
_3 S [wip  
　　=cos2acosa-sin2asina hI#LHZ7  
)M\zk>+zz  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa PKi*L d  
c0c.ez In  
　　=4cos³a-3cosa rq@SExf6  
GTDO0$u &  
　　sin3a=3sina-4sin³a 3 TDzRr  
| Lawz  
　　=4sina(3/4-sin²a) l*A Lp  
x5@HcM  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] _r~wWMh  
:[Al"YK/  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) &rNk,d$2=  
Yj#OE10  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =P8.p[%  
\T* xM$  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] o<)Z&k   
7:5sDyB  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) uco-gcCys  
)[1RRZBbI,  
　　cos3a=4cos³a-3cosa vHWUwj)  
Ft)1SdW  
　　=4cosa(cos²a-3/4) w,_wO=N4K  
V+oo 9P  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] vBLv=t p  
rR0I`/m*t*  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Hlj(Acid  
&"K/u +k/  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) NO( 7w  
26;29U  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} r+,-]  
CoBmhoS0  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) #$Sb^Pt!O  
L}wN>ii  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] b`v|z93r  
'b)]ym`Z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] j<]A5? pI  
pPv HW}|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) qKNJ-@<M  
vWw_]/zOB  
　　上述两式相比可得 cl2ht7eF  
4v>u nma  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 8Bi?ox[ 1  
@L`b&.JI  
半角公式 ?d3EzOgQ  
~nIEg{5&XM  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [.9-5rtB  
\i(`!k  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *c!GfIG+p  
/LK &s`v<  
和差化积 mQUAH-o  
d)B7q%  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] E[.{"+1n~M  
r}QPA}.  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6@bhz{*0  
BjBVJTC  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j@ nRh"  
g_91M:uA  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 'bj;AE~  
5p%Bt  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) &9)-j  
2D{xwi~]q  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 6 54e oL(  
+mO%ge/_v  
积化和差 $chWO6  
A@m0:92Q3  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /y~Pj;jA,~  
aJL,Fkc  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] .qv,m+p{  
[L \Ss  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0 7R.y  
U:KI9uG a  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] gUnU0+>  
w5c$>HnH  
诱导公式 j$SbP8B,Mm  
AbeC<t?W  
　　sin(-α) = -sinα LwIpPOl  
-,j9^VU3X  
　　cos(-α) = cosα C:AAs,o*  
f7|XZ#o  
　　sin(π/2-α) = cosα NyRQS|wG5K  
[z S Raw  
　　cos(π/2-α) = sinα /dd ~P  
xbj7JX(Z  
　　sin(π/2+α) = cosα M1%c8qCD_  
#;I}%0  
　　cos(π/2+α) = -sinα RFD5J[<TM  
MTP+'[g  
　　sin(π-α) = sinα hUYP+?&  
HPCb9QL&G~  
　　cos(π-α) = -cosα boiY4D*@Z  
/h4{*~B  
　　sin(π+α) = -sinα L ! M  
x5Sf,bWi  
　　cos(π+α) = -cosα I.P} U h./  
:b'$,?&  
　　tanA= sinA/cosA T8am.9)aR  
idd[+  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Vj}Ob/J  
>\} .A (  
　　tan（π/2－α）＝cotα Z$Zf2G 1  
@Tv=|^   
　　tan（π－α）＝－tanα >wW5tQ2l  
`Ns [7+  
　　tan（π＋α）＝tanα ")q3_j.$  
5l#O/SgJ'  
万能公式 VxLk)4Q:`  
_L{Js  
　　 N(&hiP  
3URY+D$^xD  
其它公式 =3'\Qr7~[  
UOl\u{o  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~)..;vlo V  
D_vI -j  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 .5% !x  
Gte P>=  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 -abl?NL  
5T6=tq41&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 }l.noUk9h  
?svlaL|J  
　　对于任意非直角三角形,总有 $^%]18  
Qc/1q8s  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC RTS&sb  
`c QS5x>  
　　证: ujQW\YL  
RM?$J0#%E2  
　　A+B=π-C F$ Thc=_T  
e$ gdH j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,PKY2  
OCo-=B>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) nomS^ I,]  
J:c.vId?  
　　整理可得 5J$KKo;S  
9 ,_[]a;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4i%h-~-r  
N$AK/U9  
　　得证 GWr=)'MK  
%f L-#0,a  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 rX fA :^D  
J&lf^*  
其他非重点三角函数 KY=i/v_0  
0hc\I[Ku  
　　csc(a) = 1/sin(a) kDg]f:M+7  
nW,2u!z  
　　sec(a) = 1/cos(a) \L`*N9d  
k)m]vq7p19  
　　 D1)vDy u  
*z0Hr (N  
双曲函数  CM4D2PZ  
Dq_hvxMKv  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `&)\0?4  
m*V!v<+[  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7M"Dxk]N9  
YvD q6mT  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) nK -/`  
3e|p[J  
　　公式一： <I*hjsD/  
|`Q5.lqW  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： _/`{J@  
 /)0a"=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα (>r"_"SI  
2e=99}.&l  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4<'*= 0c  
7aUpK^ssS  
　　tan（kπ＋α）= tanα Z,}v# nh  
]};4K  
　　cot（kπ＋α）= cotα WP9|I (  
F@TkHa  
　　公式二： |%NR9 N?  
Jr" @w7  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： QGL'/@   
<HD Bh  
　　sin（π＋α）= -sinα R6-HYJzO  
;F8opP  
　　cos（π＋α）= -cosα ml@>@2.u  
*EW3Zu h  
　　tan（π＋α）= tanα ?*Zaqn  
Qg?2?q[  
　　cot（π＋α）= cotα ix J7h >i  
_5@IX"C  
　　公式三： 2 _fIJ  
!/!^G91y k  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： LR,G8iy(N*  
gJ@CEOlO^.  
　　sin（-α）= -sinα ;?#'O4<  
vf;0aVg~  
　　cos（-α）= cosα %h- uOgOX  
z&jK>N r  
　　tan（-α）= -tanα !l,gNS2|  
xVVef6*  
　　cot（-α）= -cotα  LGdGk?  
&S~X ; G0  
　　公式四： 96EK&f  
* p Gr[7;  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =w=v>vm  
c']a0D6/D  
　　sin（π-α）= sinα 38Rw) BAU  
B9x&G_  
　　cos（π-α）= -cosα h7Nc{EkBV  
Oy:4;UT]  
　　tan（π-α）= -tanα 8Uajsi  
8]CAQ]T F  
　　cot（π-α）= -cotα 68SpYX<M  
JeDQ2  
　　公式五： w sQ>]q&^  
k:E'OQ;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ffX@.K!^Y  
W*X;H4D  
　　sin（2π-α）= -sinα UO*&'TwlN  
e<p`Y|7  
　　cos（2π-α）= cosα p\./D&Dy K  
+NKmwOyp'  
　　tan（2π-α）= -tanα PbD\h/d  
,vzgf  
　　cot（2π-α）= -cotα zv|1<  
3X4V8  
　　公式六： :|?$G#7r  
/jMkf}m?b  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： T ]4w l*b&  
Y!)|iBY  
　　sin（π/2+α）= cosα nbRce5t  
0<=@dw_i8  
　　cos（π/2+α）= -sinα E hbO}5r{&  
;*/r}Q$  
　　tan（π/2+α）= -cotα >n{Ae3ae   
J_:%~8 #  
　　cot（π/2+α）= -tanα aY,*!Rrj  
W\]O83*<  
　　sin（π/2-α）= cosα OZ@2~~ <  
wzGT=> yl  
　　cos（π/2-α）= sinα *hg2KU\M 1  
F' " UD  
　　tan（π/2-α）= cotα ci{aEQ)S  
-Z:M7L]?9&  
　　cot（π/2-α）= tanα dR5;ecz;`F  
JW rm)L  
　　sin（3π/2+α）= -cosα vRvq~]x  
0 (ssQ,E0  
　　cos（3π/2+α）= sinα k|j$OU[9{  
sP|H3.G:  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ygJM9!U!6  
WK$e0C/lC  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 59VG7\  
|l.ljQf z:  
　　sin（3π/2-α）= -cosα JW.o<hi  
|GLi$C6c  
　　cos（3π/2-α）= -sinα oEQ6xDpo9  
i23C4{7F}  
　　tan（3π/2-α）= cotα Hz|rr?L"  
U_Y) C  
　　cot（3π/2-α）= tanα .=M g  
XB D1y@|4  
　　(以上k∈Z) 0@0 :E  
ypi:l@  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 snMLf[@T:  
2zX^f  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = &$,_J.  
yc<!q"hS  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 5m`@  
AVYN.{Gw  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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