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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 K Z,Mv  
_#j+s @C  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _@.(e^  
#q12sy:  
　　1、三角函数本质： (e%er!R+  
&L<i9GWy p  
　　三角函数的本质来源于定义 ieQhv^?1T  
7$P!$FHqJ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 \+rBPZ  
)TQ!A|ry  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 >VutK`|9x4  
p.,/\mJN  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： :e-x,>  
ML^h Mt8  
　　推导： v]h>G%5  
z{VD 4A@  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 }x a/}sz  
X&)Y75Ef  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) BXg.v/  
u<(:c0/GD  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 's 0gPIN  
N ;2m2n  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 _ ceM{V'R  
.t$se2J  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #U7C H*4i=  
~d%Usk( c  
　　[1] &=)U=^7o  
RI-4"E1}  
　　两角和公式 n^ T>s7U@[  
Nb28x)Z?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB epk~' hs  
Jv4mD-4S  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  (TY2rk,@ C  
1Tq{Q?an*C  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _qX5Q=R3  
>"U%)an3 0  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 5_-"q\|d#  
/K4En6Wy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 'K\= QFS  
I8jY"1g_T  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) t5o>&Pe"9  
t*gjj'B  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  > v${eT@  
ItRWd9  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Fr]`:q#u"v  
Fp'PJpM  
倍角公式 =.r:rq&z  
|q'6x1h}  
　　Sin2A=2SinA•CosA -ux7Y6"S  
@jgo1 ?C  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 he{^kU!  
=bs)1EH^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） vq~@n{8  
'[slW@( t  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） {/r^&9Hl  
RzA\oQSV  
三倍角公式 { J  J  
.V{<f  
　　 [g9IC!!Fk  
1esKe{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0FRS>~vkX  
1L:qKf+  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {\IbZh  
KG w ZhS  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ?>B0v^b  
)fnxg%NNq  
三倍角公式推导 q -\u<[@  
xQUqX79d  
　　sin3a 5Fy&&bFxM  
ii^T%<PB7=  
　　=sin(2a+a) 0vnnY> jA  
Ye[W=F\!  
　　=sin2acosa+cos2asina }=Vag\!B  
LD8$QFRMb  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina _O /Eqrw  
' m2:1G[m  
　　=3sina-4sin³a "2zPEpa5#  
dVU$|W*  
　　cos3a MX6~Nzs:[F  
a;x 2  
　　=cos(2a+a) KM> p   
aZw+;9jm  
　　=cos2acosa-sin2asina ? uMqW D  
CP.6Y/Ta18  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ^'|9vd$e  
4bas0"Qb  
　　=4cos³a-3cosa -%W 9G1 r-  
BQUAjim%  
　　sin3a=3sina-4sin³a _Z]7( 0@,  
I5<T2t  
　　=4sina(3/4-sin²a) sK?fBM]M  
;PMp 92]  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] D \cW,uF  
P |) *O  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) d1{D 7 x8  
@:jEJis  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~vJsy/h  
E A\EeY)<s  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] : >:B(s  
KcVS=QH(n  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) WR#W`CFM  
[]A:%/F  
　　cos3a=4cos³a-3cosa bn7s  
A$Z8Aq {i  
　　=4cosa(cos²a-3/4) G!6m'K/r`  
y4fJ' q=sO  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _>]@y6  
|cNl VW  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 6)]oi46g  
>hm0I?k  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) & -~ P  
o j{6<|<O  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} f|;2w9c5+Q  
,]kzsh  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) QA!(bY[&  
Fv|t fh  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] `ozhRTv0  
> a> Q.-  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 6!Uejn4N  
v/c,_m3  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) "gJe!aSi;  
 g$f]<{)  
　　上述两式相比可得 )63JbK  
e{`V?RJ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) mwim[dNX"  
/=57.bX  
半角公式 p|MiIQt3  
J mz1x]  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); t(R naa  
kPH #%&JO  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. gi&`4Qu*  
_O5TkdN+  
和差化积 B ^'/;K  
m\|M&;"  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] w L3N5=1  
T<U;c26  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5^k %V&  
EE-weh,A?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] g$+*hz  
!5o(8AhR-]  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ztTI5~<  
g1UA'+J)-'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) BI9:>;*  
heUw\q2,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) p'-+'+/n  
dAjjV=ZqY8  
积化和差 7*'7SA :  
 U7%-&  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,5s<A-5G  
PY[ I+  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] mZ=jlB j  
stZP~YU5e  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] &4W'.a@nI"  
=5  M Tq  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] .Ea|&bT  
(p[ZAdz  
诱导公式 ^wr|L#NG  
?C66kTtv5  
　　sin(-α) = -sinα RHcB j2  
4zCRX3N  
　　cos(-α) = cosα `1]oLE  
g| Z_=p5m  
　　sin(π/2-α) = cosα KvA`Q@p.a  
j v3  
　　cos(π/2-α) = sinα '#n;sH  
8{Dd2f  
　　sin(π/2+α) = cosα W4x GDC  
MQH9ih  
　　cos(π/2+α) = -sinα bESP%v1  
,GzsICI  
　　sin(π-α) = sinα 6ro4;P(AW  
4%S M0=&F  
　　cos(π-α) = -cosα t@W /]6e[R  
/:%2)T0R  
　　sin(π+α) = -sinα n'eA[CrK  
6tC~vWEck  
　　cos(π+α) = -cosα G%'a]."T  
6^EL07w:Y  
　　tanA= sinA/cosA Kc`4Re  
[~j&kz*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα cr11Z8yW  
V6p"U ^C<  
　　tan（π/2－α）＝cotα T~E`.#$5  
.5#dv0S4  
　　tan（π－α）＝－tanα >m~eYd1ud0  
A L?f!(5g  
　　tan（π＋α）＝tanα JJ3G[ Vz  
G ADF_3P6  
万能公式 @kP0BWb, a  
eR>NN$j  
　　 m4;Vy;$  
F'_r!@D9  
其它公式 967#,l  
@ #WH bI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ;YWsx4*  
za=e=s/i  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 pQlLR{^ #u  
ZeLue2 /  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 K?JQ  
anu^<-bv  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 i-,c-RYO  
gzU>1~  
　　对于任意非直角三角形,总有 >y^LTq)  
N)O; !H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q`:pc)ZEd  
J]'/{|  
　　证: sg+Mr)V  
& M,Q;u>V  
　　A+B=π-C rhJ4Wx6U  
rzyrMXs  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ZG81 `]!H  
C^27Z-+  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _QAD[V)  
nGv"ECi  
　　整理可得 ^+]>J}He  
Hl{Js9V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC NbMtc /_  
AgWEI\x  
　　得证 zoFxixGO<  
d(jO1s  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立  H,$P,  
sak XE!  
其他非重点三角函数 YIa#rVE  
iUC([oA\  
　　csc(a) = 1/sin(a) &)5N&j*  
`  *NW  
　　sec(a) = 1/cos(a) # "l$ge:$  
{Q5`1:?M~.  
　　 I+?P)#  
vLPv -E/&  
双曲函数 I G'M"  
>=L[,SCRB  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 )NrF`;9  
798Hy+N]  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4g4`J<z  
f THQC0n<  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) kVxz3((  
.G(>*^&|}  
　　公式一： ".C]#I0|  
v[oJ"oj~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 6| ]$@ V;  
vZr/\ H/  
　　sin（2kπ＋α）= sinα u GHm$$2   
mR`y=a9$  
　　cos（2kπ＋α）= cosα =zsbldIW  
A)Jfn [  
　　tan（kπ＋α）= tanα F=x+mR  
Ff$@ 7t-1  
　　cot（kπ＋α）= cotα sj>"sRkc7  
%"eM)sG  
　　公式二： qD'LwTQ2  
=2UqJ`+gl  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： jn>-zo?;-!  
gR@WuR  
　　sin（π＋α）= -sinα C g|vnLh  
3zJ;f`  
　　cos（π＋α）= -cosα Ex}$20[hr  
46T%@khw?  
　　tan（π＋α）= tanα }2Ne^KR([  
70%7%ia  
　　cot（π＋α）= cotα MAHG,-<rL^  
mr]U(Ar  
　　公式三： A/0e+6T  
b1>B7YRD  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： #rG*r sD0  
_igv4uO  
　　sin（-α）= -sinα JXp+Xty  
n5dz8?EQ  
　　cos（-α）= cosα wI4z.R;&  
Oemu+3$  
　　tan（-α）= -tanα 31f5kxq1  
PM@BnYX S  
　　cot（-α）= -cotα J5 QzYEu  
}'N[da  
　　公式四： % K[9]PMk  
UoqR=~s  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 1CkeD42m  
)z[; huV3@  
　　sin（π-α）= sinα x{F4T^kL  
T(2Jzp[I`  
　　cos（π-α）= -cosα /Dud3DfCx  
/L6lvIg ]  
　　tan（π-α）= -tanα f'=/X_^T,  
0N!}U9v-  
　　cot（π-α）= -cotα /wgA"E\  
{ [>? zle  
　　公式五： j&.C| g  
!*0418  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： D%Xpw;>  
.J%,l*  
　　sin（2π-α）= -sinα ^K/ Tt#<  
}3/S*  
　　cos（2π-α）= cosα Rm4 UBR4  
|^m$TV y5b  
　　tan（2π-α）= -tanα ocv7 "7=e  
-eyHFI`U  
　　cot（2π-α）= -cotα I,.f%,jJ  
\XNPvw w$  
　　公式六： sS)TE1n~  
>J+Gm ge  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?;p_f;_  
)g?c=$0=j  
　　sin（π/2+α）= cosα [ T~_~5  
q.U#g[>a8  
　　cos（π/2+α）= -sinα jBB/(S~H  
dm=}'cTho%  
　　tan（π/2+α）= -cotα mXlkDsp$V  
%EP_k]Bu  
　　cot（π/2+α）= -tanα 51R;p{  
3H Q$  
　　sin（π/2-α）= cosα O&_ }my?;  
DKK +P<A  
　　cos（π/2-α）= sinα ^G"#o)6)  
~hx@I(]  
　　tan（π/2-α）= cotα g]}WIUq  
3g/>"X3D  
　　cot（π/2-α）= tanα er G$XCM  
K`rRlO;Zs  
　　sin（3π/2+α）= -cosα dbonZR;  
q"B[ot NKy  
　　cos（3π/2+α）= sinα "+p5*8  
@i^(S4a2  
　　tan（3π/2+α）= -cotα WlR6  
ziC H  
　　cot（3π/2+α）= -tanα rG_-8_@t;  
T1XV|)C  
　　sin（3π/2-α）= -cosα uhw(hN  
)aWq6/#%a  
　　cos（3π/2-α）= -sinα aaw(;d)r  
bb 6AW9  
　　tan（3π/2-α）= cotα qWYTmA<74  
$~ 13`\\  
　　cot（3π/2-α）= tanα VKfNPHbw  
ahCx^N`  
　　(以上k∈Z) :*40H&b.5  
_)|l  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 n3C]~c68  
rE1<3$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (CJk|qE  
C~)G@ wo?  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %l'0@  
pL6EQn +k&  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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