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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 P"U*+4#b  
j@ Fs;c}  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. wf8t#!IY  
^8_Sxv  
　　1、三角函数本质： t/ z-@!z  
_`W+%  
　　三角函数的本质来源于定义 <(L( ]  
`Qe]PknU  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 vinV J3P  
P_x*Y-f(  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 U@KSDex2  
?w%&Q{X2>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： JjNvt|jy  
AP( maS#  
　　推导： og -t4Wrz  
}v'-G_/{  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Xo':8}7[  
w `cghH:  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) g(cuYfFm  
S9=j~ 7<  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) M-q3UW4  
CkPi3wNwQ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 u!^iHL"k  
=h!J%#MU:  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )p7tN  
u@2YhHQ&  
　　[1] *#kd`,i  
7(.*:"  
　　两角和公式 %P*+ *X/  
Y@D3=N~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ,=K bK&YP  
qW,lT>!3$L  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /@Xn:wh}=  
0;:3enno  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ZK1=+gIl  
1n(yzY8RJH  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB `1K1Y?2R1  
#s}Og#+Z>  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) qh$%2x<  
R|33n{  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) d=8kEsfb  
y4Sp  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  @$@G\}j^#i  
p$Zj z#  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) = kE7   
h$7z3[I} M  
倍角公式 r7Ik<AC'k  
prrRH^<  
　　Sin2A=2SinA•CosA j=>$xJ%R  
_}[$<Np  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 )f!@;$}  
[|qP|C  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 8[1W)%f>  
1#qGzs2#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） )A,.$ejh |  
(z,O&3ko  
三倍角公式 rseH|sM3\?  
P 60A4F>  
　　 >T$UaS  
Ikw:M)l  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 7"dKBd)  
R(bb-M/@z  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) kyAo,FT-?y  
3$@|/452,  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) go9JN  
lg@XsJ'  
三倍角公式推导  ljpPR  
S$qf}z  
　　sin3a T[< k7eD"  
>&<(~$T$  
　　=sin(2a+a) }bILHFcS`C  
t>@v:  
　　=sin2acosa+cos2asina #z>aGt]uL  
d(#$  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 9}((1=]  
QK>8}+.Q  
　　=3sina-4sin³a i_twSmq  
O <,zRGN  
　　cos3a W1?}*LW  
OXuM+<'  
　　=cos(2a+a) Fd6|1Im  
~,O-AgY7,  
　　=cos2acosa-sin2asina wx13`4  
Wr%@wk{  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa b<w<pF  
d|"UI;\  
　　=4cos³a-3cosa HjHeyTDT  
\U{!{*keY  
　　sin3a=3sina-4sin³a 5rbVGl  
[ }nZ@{  
　　=4sina(3/4-sin²a) ctc||  
{+1_8-  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] {>;<h%s  
s` <dfwAC  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ny]XI<yaT  
> O\_x9I  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) n;z- 1i@  
5hfD4j  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] MN(77  
_Rz^"?YG  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7v @Q  
bun]WHpq:  
　　cos3a=4cos³a-3cosa EA3;1 cZi  
M4Sg?3x$z  
　　=4cosa(cos²a-3/4) &qlhS8~=  
j2If\M;t#  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Hh?{ PYgv  
]o:|2P&  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) i Fzk?@  
i  k)M!P  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) h$KH|1mD_  
LX%E*<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Lh;[|j~  
^3N#Iby*  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) |S \ >B L_  
8ux9/Mw2v  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +"49pV v3  
f,;EXA  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] cS<!Yg  
$`hxn9 u  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >1j) XG  
sdm/0Y9E  
　　上述两式相比可得 @+TI8p~!  
[D%rwt>F  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) {)`7Yczy  
'DBH+f+7-E  
半角公式 6&]\&5hF-@  
n2uxH  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 9$j[  
}QUwXvtj*  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 4iw*;O~  
R^GYsJ  
和差化积 S+Y7k@`G  
L[x*\[  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] i\dx J^GCN  
O$ZlivR  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5b7:l|F  
&6-8fHn  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Jti4hnp  
|V?kP!5h@#  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] RC|p[2AP  
0$%dyr{;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ymx sOC  
f2!NEpXH  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) )3PNU1Pq  
AUlkz4y{D  
积化和差 p3z/6:i(w  
^N*CgX f8  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] "*-nnwAo  
 r"I.  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] E.UZ"A)  
AjlP+:P* K  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]  @8Xq{  
Ug83im 7  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] +M|&L@8  
,0 #]X]  
诱导公式 1&m;G'Rj  
$}kwLB0  
　　sin(-α) = -sinα \B:IF[,b  
nG$%$yV  
　　cos(-α) = cosα YuB`_vEv  
+;^vm{bev  
　　sin(π/2-α) = cosα u mw jK  
<DPlVZ  
　　cos(π/2-α) = sinα ,+aHd-2L  
qB0 Nm)u  
　　sin(π/2+α) = cosα SZB{?e{#G  
heo5'A7  
　　cos(π/2+α) = -sinα g2|wK"  
f~?99L  
　　sin(π-α) = sinα U?Nr|9'vn  
\BQ~7#:  
　　cos(π-α) = -cosα c^)%R q  
!CO]6E]~=  
　　sin(π+α) = -sinα _TQ6fU8  
,vCv^ln99_  
　　cos(π+α) = -cosα ~Bq-u|  
\5sb2;  
　　tanA= sinA/cosA Hg%>vPpZ  
y :_%:6  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα HJov.  
E"3'7@ny  
　　tan（π/2－α）＝cotα V#(XCOb  
jy= {vyap  
　　tan（π－α）＝－tanα yi 2~?  
jm]G?xnn  
　　tan（π＋α）＝tanα k=*(QJu!  
-eZ| {I<?  
万能公式 :ci<| mtD  
8@ovds  
　　 atGhzt'  
l`)D]Nc+%  
其它公式 @1zC8U[L  
'}f$?pddMl  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 <Zyx,$bS  
r3}HM@ui  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 i)H(wr$y  
^[(zI>fA  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pS)df  
MdaV]=F#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 g0Fp bR%  
 k HS  
　　对于任意非直角三角形,总有 I 'WEK3x>  
5B L1C@u  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC DzQx\Jq  
W #^}%=9  
　　证: gZ`N;z[t  
1Mx#-QBQF*  
　　A+B=π-C MQ14@&j  
rsaN#uP =  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 1cQ?":G  
nZJ{h ^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 3uNv}A  
4F/k 2v` w  
　　整理可得 9z07wx  
1=Y+5}{?9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `1Ds7*Tz  
u*rWf1iu  
　　得证 qpY!lL*`I}  
P kUqQ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 S,S"|N-#  
z<S0_bNs  
其他非重点三角函数 0PcF4]  
{uAj;lJ  
　　csc(a) = 1/sin(a) m-,!F!fGo  
=){NIOXhd  
　　sec(a) = 1/cos(a) vP bJ``!  
&p}/flJA  
　　 zs>VD[|  
OAf.|m;5xf  
双曲函数 ; V{ ;O`  
5wqNO1}Z\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 p) 6xp  
=_"/t0/i  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 T|X+ Y0  
l*e^A9-D  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) hJJSp)  
F?r18  
　　公式一： Ff2J[oO6  
h+1Jx^EY?  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： G( Exzgcg  
Sb1c~e&>  
　　sin（2kπ＋α）= sinα T^c*{HD"e~  
%IA0h{ZM  
　　cos（2kπ＋α）= cosα WHl@_f?  
fNi6H]2O  
　　tan（kπ＋α）= tanα 96m_bqX  
hCKVQ;h4i  
　　cot（kπ＋α）= cotα ;V@~oam^rJ  
=TA k@<"  
　　公式二： AWB/:)sX  
B*-lEX:`  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： F%]+ $3^  
M6PPCP&G  
　　sin（π＋α）= -sinα dozM0<Wm  
I02JH   
　　cos（π＋α）= -cosα EP<hcb0#  
WRv0oZbp[  
　　tan（π＋α）= tanα n H:Br~  
7K;RS>pH)R  
　　cot（π＋α）= cotα qudbCSrA  
TdU09lx%_6  
　　公式三： } mJy?Y-  
,?-/6Z&.%  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Ics(hp=F`  
Nnw\^ZYC8U  
　　sin（-α）= -sinα <L_gSN%}\I  
$jFP-K  
　　cos（-α）= cosα dd""*]s?  
#=kZ2,<C(j  
　　tan（-α）= -tanα 4T0`3e|<  
n"Hy^Y)1D  
　　cot（-α）= -cotα VVQCU.f)8  
+8H"4sgP  
　　公式四： h'x!J  
gcT:s  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &PVMvuL  
aQd~FQ5f*  
　　sin（π-α）= sinα )h:lc:'t  
pVi$dZmRe  
　　cos（π-α）= -cosα vC]RR,2  
*6%GTVJN  
　　tan（π-α）= -tanα X1$[Kl6F  
~@ q"~"/9  
　　cot（π-α）= -cotα ]~@SZm[@O  
.^1 M#j a  
　　公式五： cHo,kvV8`i  
??uS(E"a  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： t3{9$;qv  
/U =htVZ  
　　sin（2π-α）= -sinα H0uBj]x_  
Xx9#1MBj  
　　cos（2π-α）= cosα jp%oyHIq;  
_ (9Uc\  
　　tan（2π-α）= -tanα 6iUV*[x  
0~7k L&T  
　　cot（2π-α）= -cotα s@LIO<ymm  
r7R}LM<6  
　　公式六： GEBo%i  
U{* 4v2M}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 5Sa^.T.$  
?61c^y)$  
　　sin（π/2+α）= cosα 62[;Qhd  
5!lieD  
　　cos（π/2+α）= -sinα c D0B-1e:  
b{R;%N  
　　tan（π/2+α）= -cotα A xXjg;w*w  
YiAQ0bBX  
　　cot（π/2+α）= -tanα B7A|UYVNq  
U]DlF4]y  
　　sin（π/2-α）= cosα 1!gQ %8q=  
S}&-kZ<  
　　cos（π/2-α）= sinα (!gtv-K4  
WTbU p  
　　tan（π/2-α）= cotα tZU;m}bRf[  
 0'h00  
　　cot（π/2-α）= tanα z;|[=s  
[d6Kc!  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )g=cFOO  
4Xy<1:  
　　cos（3π/2+α）= sinα GiR;3YRia  
>%@HOm*!:  
　　tan（3π/2+α）= -cotα +/SnQdj  
s^^D92\  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |\%F-73_  
1snP~*rGt  
　　sin（3π/2-α）= -cosα SELCx.u  
;q5(9b1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα %@= $#~  
ca1[4nd>  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]"6X?%5h  
oxz"<zY  
　　cot（3π/2-α）= tanα JMl UgSR  
LHPIzR=h  
　　(以上k∈Z) yyk nEH"  
{*h"Qu s4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .)A#>g  
E<_T)Q  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = n>j@W lh  
j)? u6Cz:  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } -*d7ITA  
#g]0BA`  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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