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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 )a /V<;v  
_-u*+6  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. B1L&Fjy z@  
Jq1dIWlK  
　　1、三角函数本质： Y)i@9Qlsg}  
"CdAz+#H$Y  
　　三角函数的本质来源于定义 H`F"5WJ.Q  
r`37~!  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 QAsU$()}W:  
tXm)>"MWu  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 dZX@d/ G  
XWWKnPVL  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ja!JU\f-  
sz='-uE  
　　推导： (z?Wvp]ELv  
MAWCi!pz  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 v}8[}Q  
G`1U_ p  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) q=@cP}lH(  
.j s b)Q  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) x/U>T^ q0G  
X_lkj3-8f  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Of,^#7A^  
Q;6\5$  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） oP~uUtL}  
WD?BZb189  
　　[1] fU%1{'Zg  
eo=.!v  
　　两角和公式 NjLqk  
K! Y[)2#j  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB !yv=/be?w  
IK^UD)p  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  J{kZU..#"  
?\S_{4  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ygQJ p  
7 x?^V  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 1QDm*"jf  
m-M\JA/  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8L)k\   
E-\v}h"  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 2oa%N\+Q8P  
Wo.A0!ja]"  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  c ?;u9t  
pq=x]-VRU8  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) qXDdfG!{  
-O1O  
倍角公式 ;'~Qr@;=_  
z;2r0RcGm  
　　Sin2A=2SinA•CosA T-v- f2  
9U(Q^V>gw  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 a#-@[F  
f~=FNq~:u!  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） }38Dv z|  
eQwijQ\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） n*FllwSe  
h)D)UGN2  
三倍角公式 nLVpq0([  
y)#rw#W  
　　 [7t;DS)  
!$49( 4  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) C r(lhxw  
.Zf1cy7k  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ;^%/QSS?Z  
{.1Qz9B  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 5gP6w^  
m3]PSA;a  
三倍角公式推导 2?yCYcN  
0=G][`\'  
　　sin3a r)0#-aA  
)`2f8qD,  
　　=sin(2a+a) m9D wh,WA\  
>1{p;X?  
　　=sin2acosa+cos2asina iB+Ouq  
-S@ug/`T[(  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 75iL4"ba)W  
TUE-K@Y  
　　=3sina-4sin³a )N5h~$!-a  
Vr!K [:[3  
　　cos3a k- e v*y  
8Ro pma  
　　=cos(2a+a) /U c pN n(  
Iik[0zE?r  
　　=cos2acosa-sin2asina O^j^:9K=M|  
2W*{7$$K  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa #Y["+au^e  
53> N]Ws  
　　=4cos³a-3cosa )[x&cS  
H \ %]  
　　sin3a=3sina-4sin³a zLvU?[z*  
(~xD;l 2j*  
　　=4sina(3/4-sin²a) Di\r[Mw4.  
evLr;C  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] {uOY@{  
,x3u@;F  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Ci! _\(  
2}^6Vl  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) eiKLj{f  
+MX=5i@`I  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] A?nvk{bY[  
6Grf*'F]^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) R:6TBQ{P  
R*0ji?/-n  
　　cos3a=4cos³a-3cosa }P*MYMK&  
~<>pb;HP  
　　=4cosa(cos²a-3/4) TU"7H[(Ne  
y 4 0g4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] u,gBY)WB0  
pT YtVw  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \abXTB  
f_Ji Fn  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) >mP6.a/C@  
[]"uij&F1  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} MIS^7s1v  
0BDw ~v:  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) U<+=7|4B  
$r5E@;9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] #b<Y'  
uR V ZW0]  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] d}1;s Os  
dQ!,`E  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) <|!64 c!  
FgNo2:%*s  
　　上述两式相比可得 SU% _^  
R5Z+NU]5  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) =xXN\}z/  
dh H)-QC  
半角公式 So-t*zM&R  
*G?O>6-GQ  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); =ad8q*ra  
 Z)+7R.  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. '*?e.8Q  
:92FM[   
和差化积 @n:1}  
J@%G{2%KM  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] nRY 5{*Ax  
Zx{[&hnW  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <D.DxMg  
nx5%SF$cH  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -}] 7or`u  
5{^$ %l&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )H1C(^(  
3{oW`9vm  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1; Uj'2f  
WSL&XqJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $S"mL-zR`X  
S5 .ijsjM  
积化和差 )dz[k  
eM4mFv  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ]oFb8]!.RJ  
'nL[ZJ#  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]  (P!E9l}B  
uLk}3`yV2  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] +U_Y5vrkE  
{NT26d  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] D23D /:  
S %@[|/2X  
诱导公式 ~Q7L;9  
qKD"{Y;o  
　　sin(-α) = -sinα qh L<Eqy  
v `K"G3i  
　　cos(-α) = cosα {8sS};Vx  
JHp*#5C  
　　sin(π/2-α) = cosα 8 D @2;Y  
9.IP*[J pA  
　　cos(π/2-α) = sinα [o [fwFl`  
=Z<uwj8ek8  
　　sin(π/2+α) = cosα ; @55V^sD  
ug1y>]U  
　　cos(π/2+α) = -sinα q9)L76^X&  
Y,,^d@\  
　　sin(π-α) = sinα Bdjx&a  
BgkG)  
　　cos(π-α) = -cosα ad>xBKV  
&>a$F/A  
　　sin(π+α) = -sinα F H9"#n  
th/ ':r  
　　cos(π+α) = -cosα KKHN^QU  
55~v)U.Sw  
　　tanA= sinA/cosA X-lngl5  
d<]<#Am2  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα nRT ]PV  
^n'sue8v  
　　tan（π/2－α）＝cotα S%W4G_|m  
UOw#~>cv  
　　tan（π－α）＝－tanα jb(*\ hx=  
4jR-v<v@C  
　　tan（π＋α）＝tanα 08XMKx5  
cQ0gS8&  
万能公式 W#CBR  
PT8D~SPd  
　　 <AY fe}N@{  
:K]*d(;  
其它公式 r?E,yu  
NC '"?_  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 n 'L I8  
F'pG^KM  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 0ZqN)*G/`  
)(gs~UF  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 NpWbCT>V`5  
M32,f%5r_b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 M}x|+D00  
Oh$$!8lJ,  
　　对于任意非直角三角形,总有 vexTx LBi  
N'{sRTVPs  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K}i( x; .  
]r@lt d  
　　证: nNFT/eQ  
r|BO5%~98  
　　A+B=π-C $(Z;llNJ3  
vJ]"2{O]w  
　　tan(A+B)=tan(π-C) +S[ \V   
WHmXwMh_  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) vJ6b{|!Be  
yh%bb@k  
　　整理可得 'cD}nU"  
E2`e|g  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [zR. G>sg`  
bd0|=_LxU  
　　得证 BX NvjSZ  
5q0z,:Cf^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3LKb05?  
u<A2Kx(7  
其他非重点三角函数 G?m>K and  
LS9%{#K  
　　csc(a) = 1/sin(a) R (_-z^  
5{Z$  K  
　　sec(a) = 1/cos(a) IfT\ xw"K  
SyxEo  
　　 f/c2j5fV  
P 3a,rim  
双曲函数 em(4##  
E*M1X]%s  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1g)jNec12D  
@g[#/Gm8  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Dt]Jo?e&<  
1eHQcx/t#  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) gYA!S{  
p_6K0m_6<  
　　公式一： :^Vh\O  
;)-[.,$rV  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 2< zR/rL>  
jvEbW)  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 4.DF[T  
n~mQ2H"P  
　　cos（2kπ＋α）= cosα hOPrCD|^;  
0#3VwD&;Cy  
　　tan（kπ＋α）= tanα XX"[.S^   
nF($Jrwb  
　　cot（kπ＋α）= cotα uXD`kEz-"J  
tv uDM ,e  
　　公式二：  W%sLz  
TLIo;Y^+  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： L htmnGV  
`dkPp]p+  
　　sin（π＋α）= -sinα Px&e, _K  
'w). T<r  
　　cos（π＋α）= -cosα 2e[O0#:8?;  
_M-bg\*xK  
　　tan（π＋α）= tanα ~SFv&?]E  
`6 <R  
　　cot（π＋α）= cotα .3lX|{cF  
dR"P+  
　　公式三： %+GbNC_(  
:vYaP"`M  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： J1.o#3  
*[JrC  
　　sin（-α）= -sinα kn7,Vd\V(  
,t8ks|VR2  
　　cos（-α）= cosα zlrx6 v}f  
R'-oWvN3T  
　　tan（-α）= -tanα u_5 7Y3{H  
Pu:% *lb  
　　cot（-α）= -cotα Ha`Fw%|J  
A]T*p2/  
　　公式四： 6Mg5} I2T  
$Je^;@&  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7B~$Z#pm  
45B_c?#WL  
　　sin（π-α）= sinα K N0d`RE  
DsF >&Cha0  
　　cos（π-α）= -cosα rlpNe" 1  
O t|:T@  
　　tan（π-α）= -tanα pif^_Z<3  
XGP+oF  
　　cot（π-α）= -cotα yil?z3/  
*8xlw\8>  
　　公式五： xe_`z`|N  
wRqN ]43~  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 0D27$Ap  
~pg.Q=ps  
　　sin（2π-α）= -sinα rGD~DaeS  
o<[|~a~  
　　cos（2π-α）= cosα M?[S*oKZ  
%(+db*at}  
　　tan（2π-α）= -tanα c} X&k$  
gM{W#h%  
　　cot（2π-α）= -cotα i+8rxB$  
0zcfUXffK:  
　　公式六： !}k 9v?  
P"&/}}4p!  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： o;9m$)X6G  
&p(Vpi('  
　　sin（π/2+α）= cosα 8VDL9A  
D#b^7hF&  
　　cos（π/2+α）= -sinα d RgjY  
pMQj~3n  
　　tan（π/2+α）= -cotα 8AXTK_i  
%$#l RW2  
　　cot（π/2+α）= -tanα <pt  
=u/S6R  
　　sin（π/2-α）= cosα Do2 nLC  
} Ug5cP  
　　cos（π/2-α）= sinα I+Ao1WEl  
wk 3Y-N9$)  
　　tan（π/2-α）= cotα *!N0bZEa  
- BW{"Cnu  
　　cot（π/2-α）= tanα \>(Mtr`  
hGwqA6dBU  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 9' R+(s  
[T;z!k=  
　　cos（3π/2+α）= sinα 9'1_CLoG  
` 3u/_  
　　tan（3π/2+α）= -cotα znQ"b!jx$  
G)yAH-k&  
　　cot（3π/2+α）= -tanα *jhELn$16  
k,<J7Hk  
　　sin（3π/2-α）= -cosα kxN,?slJ  
xjvoa  
　　cos（3π/2-α）= -sinα n"[)Ed4/x  
SpY/-gi'  
　　tan（3π/2-α）= cotα tpub9DvU-  
%'\>A#I,t  
　　cot（3π/2-α）= tanα d`ps-a$  
bm=,!j]  
　　(以上k∈Z) "?B)S#0R>  
Y+n%') h  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 wx) :y ?  
-) -ZH#zT  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qf.D&H  
Gksoa/-Wn  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `B5q$ujE  
oX@bIN\  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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